\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第九章\quad 多元函数微分法及其应用 }
\renewcommand{\mysubtitle}{第六节\quad 多元函数微分学的几何应用}
\graphicspath{ {./images/} }
\begin{document}



%本节先介绍一元向量值函数及其导数， 再讨论多元函数微分学的几何应用。

\section{一元向量值函数及其导数}

\begin{frame}{一元向量值函数}
由空间解析几何知道，空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为
\[\tag{6-1}
  \left\{\begin{array}{l}
    x=\varphi(t), \\
  y=\psi(t), \quad t \in[\alpha, \beta] \\
z=\omega(t)
\end{array}\right.
\]
\pause
方程 (6-1) 也可以写成向量形式。
\pause
若记
\[
  \symbf{r}=x \symbf{i}+y \symbf{j}+z \symbf{k}, \quad \symbf{f}(t)=\varphi(t) \symbf{i}+\psi(t) \symbf{j}+\omega(t) \symbf{k},
\]
则方程 (6-1) 就成为向量方程
\[\tag{6-2}
  \symbf{r}=\symbf{f}(t), \quad t \in[\alpha, \beta]
\]

\pause
方程 (6-2) 确定了一个映射 $\symbf{f}:[\alpha, \beta] \rightarrow \symbf{R}^{3}$. 
由于这个映射将每一个 $t \in[\alpha, \beta]$ 映成一个向量 $\symbf{f}(t) \in \symbf{R}^{3}$, 故称这映射为一元向量值函数。
\pause
一般地， 有如下定义。

\begin{definition*}
  设数集 $D \subset \symbf{R}$, 则称映射 $\symbf{f}: D \rightarrow \symbf{R}^{n}$ 为一元向量值函数， 通常记为
\[
\symbf{r}=\symbf{f}(t), \quad t \in D,
\]
其中数集 $D$ 称为函数的\emph{定义域}， $t$ 称为\emph{自变量}， $\symbf{r}$ 称为\emph{因变量}。
\end{definition*}

\pause
一元向量值函数是普通一元函数的推广。 现在， 自变量 $t$ 依然取实数值， 但因变量
$\symbf{r}$ 不取实数值， 而取值为 $n$ 维向量。

\end{frame}



\begin{frame}
在本教材中， 只讨论一元向量值函数， 并对因变量的取值以 $n=3$ 的情形作为代表， 即 $\symbf{r}$ 的取值为 $3$ 维向量。 为简单起见， 以下将一元向量值函数简称为\emph{向量值函数}，并把普通的实值函数称为\emph{数量函数}。

~

\pause
在 $\symbf{R}^{3}$ 中， 若向量值函数 $\symbf{f}(t), t \in D$ 的三个分量函数依次为 $f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t)$, $t \in D$, 则向量值函数 $f(t)$ 可表示为
\[\tag{6-3}
\symbf{f}(t)=f_{1}(t) \symbf{i}+f_{2}(t) \symbf{j}+f_{3}(t) \symbf{k}, \quad t \in D
\]
或
\[\tag{6-3'}
\symbf{f}(t)=\left(f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t)\right), \quad t \in D
\]

\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \centering
  \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-39}
\caption*{图 9-6}
\end{wrapfigure}
设(变) 向量 $\symbf{r}$ 的起点取在坐标系的原点 $O$ 处， 终点在 $M$ 处， 即 $r=\overrightarrow{O M}$ (图 9-6). 当 $t$ 改变时， $\symbf{r}$ 跟着改变， 从而终点 $M$ 也随之改变。 终点 $M$ 的轨迹 (记作曲线 $\Gamma$ ) 称为向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t)$ ($t \in D$) 的终端曲线， 曲线 $\Gamma$ 也称为向量值函数 $\symbf{r}=f(t)$ ($t \in D$) 的图形。

\pause
由于向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t)(t \in D)$ 与空间曲线 $\Gamma$ 是一一对应的%
\footnote{通常非单射！虽然向量值函数决定了唯一一条空间曲线，但是空间曲线的参数方程可以有很多，从而能给出该曲线的向量值函数也可以有很多。}%
，因此
\[\tag{6-4}
\symbf{r}=\symbf{f}(t)=\left(f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t)\right), \quad t \in D
\]
称为曲线 $\Gamma$ 的\emph{向量方程}。
\end{frame}

\begin{frame}{向量值函数的极限、连续性、导数}

\pause
根据 $\symbf{R}^{3}$ 中的向量的线性运算及向量的模的概念， 可以类似于定义数量函数的极限、连续、导数等概念的形式来定义向量值函数的相应概念， 现简述如下：

\begin{definition*}
  设向量值函数 $\symbf{f}(t)$ 在点 $t_{0}$ 的某一去心邻域内有定义， 如果存在一个常向量 $r_{0}$, 对于任意给定的正数 $\varepsilon$, 总存在正数 $\delta$, 使得当 $t$ 满足 $0<\left|t-t_{0}\right|<\delta$ 时， 对应的函数值 $\symbf{f}(t)$ 都满足不等式
\[
  \left|\symbf{f}(t)-r_{0}\right|<\varepsilon
\]
那么常向量 $r_{0}$ 就叫做\emph{向量值函数 $\symbf{f}(t)$ 当 $t \rightarrow t_{0}$ 时的极限}， 记作
\[
  \lim _{t \rightarrow t_{0}} \symbf{f}(t)=r_{0} \quad\text { 或 } \quad \symbf{f}(t) \rightarrow r_{0}, t \rightarrow t_{0} .
\]
\end{definition*}

\pause
容易证明： 向量值函数 $\symbf{f}(t)$ 当 $t \rightarrow t_{0}$ 时的极限存在的充要条件是： $\symbf{f}(t)$ 的三个分量函数 $f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t)$ 当 $t \rightarrow t_{0}$ 时的极限都存在; 在函数 $\symbf{f}(t)$ 当 $t \rightarrow t_{0}$ 时的极限存在时， 其极限
\[\tag{6-5}\color{red}
\lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t)=\left(\lim _{t \rightarrow t_{0}} f_{1}(t), \lim _{t \rightarrow t_{0}} f_{2}(t), \lim _{t \rightarrow t_{0}} f_{3}(t)\right)
\]
\end{frame}

\begin{frame}{向量值函数的连续性}

\pause
设向量值函数 $\symbf{f}(t)$ 在点 $t_{0}$ 的某一邻域内有定义， 若
\[
\lim _{t \rightarrow t_{0}} \symbf{f}(t)=\symbf{f}\left(t_{0}\right),
\]
则称\emph{向量值函数 $\symbf{f}(t)$ 在 $t_{0}$ 连续}。

~

\pause
向量值函数 $\symbf{f}(t)$ 在 $t_{0}$ 连续的充分必要条件是： $\symbf{f}(t)$ 的三个分量函数 $f_{1}(t), f_{2}(t)$, $f_{3}(t)$ 都在 $t_{0}$ 连续。

~

\pause
设向量值函数 $\symbf{f}(t)$, $t \in D$. 若 $D_{1} \subset D$, $\symbf{f}(t)$ 在 $D_{1}$ 中的每一点处都连续， 则称 $\symbf{f}(t)$ 在 $D_{1}$ 上\emph{连续}， 并称 $\symbf{f}(t)$ 是 $D_{1}$ 上的\emph{连续函数}。
\end{frame}

\begin{frame}{向量值函数的导数}

\pause
下面给出向量值函数的导数 (或导向量) 的定义。

\begin{definition*}
设向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t)$ 在点 $t_{0}$ 的某一邻域内有定义， 如果
\[
  \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \symbf{r}}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\symbf{f}\left(t_{0}+\Delta t\right)-\symbf{f}\left(t_{0}\right)}{\Delta t}
\]
存在， 那么就称这个极限向量为\emph{向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t)$ 在 $t_{0}$ 处的导数或导向量}， 记作 $\symbf{f}^{\prime}\left(t_{0}\right)$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d} \symbf{r}}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=t_{0}}$.
\end{definition*}

\pause
设向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t), t \in D$. 若 $D_{1} \subset D, \symbf{f}(t)$ 在 $D_{1}$ 中的每一点 $t$ 处都存在导向量 $\symbf{f}^{\prime}(t)\left(\right.$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d} \symbf{r}}{\mathrm{d} t}\right)$, 则称 $\symbf{f}(t)$ 在 $D_{1}$ 上可导。

\pause
向量值函数 $\symbf{f}(t)$ 在 $t_{0}$ 可导 (即存在导数) 的充分必要条件是： $\symbf{f}(t)$ 的三个分量函数 $f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t)$ 都在 $t_{0}$ 可导; 当 $\symbf{f}(t)$ 在 $t_{0}$ 可导时， 其导数
\[\tag{6-6}\color{red}
\symbf{f}^{\prime}\left(t_{0}\right)=f_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right) \symbf{i}+f_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right) \symbf{j}+f_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right) \symbf{k} .
\]
\end{frame}

\begin{frame}{导函数的运算法则}
  \pause
向量值函数的导数运算法则与数量函数的导数运算法则的形式相同， 现列出如下：

\pause
设 $\symbf{u}(t), \symbf{v}(t)$ 是可导的向量值函数， $\symbf{C}$ 是常向量， $c$ 是任一常数， $\varphi(t)$ 是可导的数量函数， 则
\begin{enumerate}
\item $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \symbf{C}=\symbf{0}$;

\item $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[c \symbf{u}(t)]=c \symbf{u}^{\prime}(t)$;

\item $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\symbf{u}(t) \pm \symbf{v}(t)]=\symbf{u}^{\prime}(t) \pm \symbf{v}^{\prime}(t)$;

\item $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\varphi(t) \symbf{u}(t)]=\varphi^{\prime}(t) \symbf{u}(t)+\varphi(t) \symbf{u}^{\prime}(t)$;

\item $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\symbf{u}(t) \cdot \symbf{v}(t)]=\symbf{u}^{\prime}(t) \cdot \symbf{v}(t)+\symbf{u}(t) \cdot \symbf{v}^{\prime}(t)$;

\item $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\symbf{u}(t) \times \symbf{v}(t)]=\symbf{u}^{\prime}(t) \times \symbf{v}(t)+\symbf{u}(t) \times \symbf{v}^{\prime}(t)$;

\item $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \symbf{u}[\varphi(t)]=\varphi^{\prime}(t) \symbf{u}^{\prime}[\varphi(t)]$.
\end{enumerate}

仿照对数量函数的导数运算法则的证明方法， 或对向量函数的分量运用对应的数量函数的导数运算法则， 可以证明以上法则。
\end{frame}

\begin{frame}{向量值函数的导数的几何意义}

%下面，讨论向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t)$ 的导向量的几何意义。
\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \centering
  \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-41}
  \caption*{图 9-7} 
\end{wrapfigure}

设空间曲线 $\Gamma$ 是向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t), t \in D$ 的终端曲线， 向量 $\overrightarrow{O M}=\symbf{f}\left(t_{0}\right), \overrightarrow{O N}=\symbf{f}\left(t_{0}+\Delta t\right)$, 如图 9-7 所示。 又设导向量 $\symbf{f}^{\prime}\left(t_{0}\right)$ 不是零向量。

~

\pause
当 $\Delta t>0$ 时， 向量 $\Delta \symbf{r}=\symbf{f}\left(t_{0}+\Delta t\right)-f\left(t_{0}\right)$ 的方向与 $t$ 增大时点 $M$ 移动的走向 (以下简称 $t$ 的增长方向)一致; 当 $\Delta t<0$ 时， 向量 $\Delta \symbf{r}=\symbf{f}\left(t_{0}+\Delta t\right)-\symbf{f}\left(t_{0}\right)$ 的方向与 $t$ 的增长方向相反。 但不论 $\Delta t>0$ 或 $\Delta t<0$,向量 $\frac{\Delta \symbf{r}}{\Delta t}=\frac{1}{\Delta t} \Delta \symbf{r}$ 的方向总与 $t$ 的增长方向一致。 于是， 导向量 $\symbf{f}^{\prime}\left(t_{0}\right)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \symbf{r}}{\Delta t}$ 是向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t)$ 的终端曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的一个切向量， 其方向与 $t$ 的增长方向一致。

~

\pause
设向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t)$ 是沿空间光滑曲线运动的质点 $M$ 的位置向量， 则向量值函数 $\symbf{r}=\symbf{f}(t)$ 的导向量有以下的物理意义：

$\symbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \symbf{r}}{\mathrm{d} t}$ 是质点 $M$ 的速度向量， 其方向与曲线相切;

$\symbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d} \symbf{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}^{2} \symbf{r}}{\mathrm{d} t^{2}}$ 是质点 $M$ 的加速度向量。
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
    设 $\symbf{f}(t)=(\cos t) \symbf{i}+(\sin t) \symbf{j}+t \symbf{k}$, 求 $\lim \symbf{f}(t)$.
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  $\lim _{t \rightarrow \frac{\pi}{4}} \symbf{f}(t)=\left(\lim _{t \rightarrow \frac{\pi}{4}} \cos t\right) i+\left(\lim _{t \rightarrow \frac{\pi}{4}} \sin t\right) j+\left(\lim _{t \rightarrow \frac{\pi}{4}} t\right) k=\frac{\sqrt{2}}{2} i+\frac{\sqrt{2}}{2} j+\frac{\pi}{4} k$.
\end{solution}

\pause
\begin{example}
 设空间曲线 $\Gamma$ 的向量方程为
 \[
 \symbf{r}=\symbf{f}(t)=\left(t^{2}+1,4 t-3,2 t^{2}-6 t\right), \quad t \in \symbf{R},
 \]
 求曲线 $\Gamma$ 在与 $t=2$ 相应的点处的单位切向量。
 \end{example}
 \pause
 \begin{solution}
   \[
       \begin{aligned}
         & \symbf{f}^{\prime}(t)=(2 t, 4,4 t-6), \quad t \in \symbf{R}, \\
         & \symbf{f}^{\prime}(2)=(4,4,2), \quad\left|\symbf{f}^{\prime}(2)\right|=\sqrt{4^{2}+4^{2}+2^{2}}=6 .
       \end{aligned}
   \]
 由导向量的几何意义知， 曲线 $\Gamma$ 在与 $t=2$ 相应的点处的一个单位切向量是 $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$, 其方向与 $t$ 的增长方向一致; 另一个单位切向量是 $\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$, 其方向与 $t$ 的增长方向相反。
 \end{solution}
 \end{frame}
 \begin{frame}

  \begin{example}
   一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而沿位置向量为 $r=f(t)=$ $(3 \cos t) \symbf{i}+(3 \sin t) \symbf{j}+t^{2} \symbf{k}$ 的路径螺旋式向上。 求

  (1) 滑翔机在任意时刻 $t$ 的速度向量和加速度向量;

 (2) 滑翔机在任意时刻 $t$ 的速率;

  (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻。
 \end{example}

  \begin{solution}
   (1)
  \[
   \begin{aligned}
    & \symbf{r}=\symbf{f}(t)=(3 \cos t) \symbf{i}+(3 \sin t) \symbf{j}+t^{2} \symbf{k}, \\
   & \symbf{v}=\frac{\mathrm{d} \symbf{r}}{\mathrm{d} t}=(-3 \sin t) \symbf{i}+(3 \cos t) \symbf{j}+2 t \symbf{k}, \\
  & \symbf{a}=\frac{\mathrm{d}^{2} \symbf{r}}{\mathrm{d} t^{2}}=(-3 \cos t) \symbf{i}-(3 \sin t) \symbf{j}+2 \symbf{k} .
 \end{aligned}
  \]

  (2) 速率是速度 $\symbf{v}$ 的大小，即
  \[
   |\symbf{v}|=\sqrt{(-3 \sin t)^{2}+(3 \cos t)^{2}+(2 t)^{2}}=\sqrt{9+4 t^{2}} .
  \]
 这一结果表明： 滑翔机沿其路径升高时，运动得越来越快。

 (3) 由 $\symbf{v} \cdot \symbf{a}=9 \sin t \cos t-9 \sin t \cos t+4 t=0$, 得 $t=0$. 这表明： 加速度与速度正交的唯一时刻是在 $t=0$.
\end{solution}
\end{frame}

\section{空间曲线的切线与法平面}

\begin{frame}{参数方程定义的曲线的切线与法平面}
  \pause
设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为
\[\tag{6-7}
  \left\{\begin{array}{l}
    x=\varphi(t), \\
  y=\psi(t), \quad t \in[\alpha, \beta] . \\
z=\omega(t),
\end{array}\right.
\]
这里假定 (6-7) 式的三个函数都在 $[\alpha, \beta]$ 上可导，且三个导数不同时为零。

\pause
现在要求曲线 $\Gamma$ 在其上一点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切线及法平面方程。

~

\pause
设与点 $M$ 对应的参数为 $t_{0}$, 记 $f(t)=(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)), t \in[\alpha, \beta]$. 
\pause
由向量值函数的导向量的几何意义知， 向量 
\[\color{red}
  \symbf{T}=\symbf{f}^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(\varphi^{\prime}\left(t_{0}\right), \psi^{\prime}\left(t_{0}\right), \omega^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)
\]
就是曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的一个切向量， 从而曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的切线方程为
\[\tag{6-8}\color{red}
\frac{x-x_{0}}{\varphi^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{\psi^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{\omega^{\prime}\left(t_{0}\right)}
\]

\pause
通过点 $M$ 且与切线垂直的平面称为曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的法平面， 它是通过点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 且以 $\symbf{T}=\symbf{f}^{\prime}\left(t_{0}\right)$ 为法向量的平面， 因此法平面方程为
\[\tag{6-9}\color{red}
\varphi^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\psi^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+\omega^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 .
\]
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  求曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线及法平面方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
因为 $x_{t}^{\prime}=1, y_{t}^{\prime}=2 t, z_{t}^{\prime}=3 t^{2}$, 而点 $(1,1,1)$ 所对应的参数 $t_{0}=1$, 所以
\[
\symbf{T}=(1,2,3) .
\]
于是，切线方程为
\[
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3},
\]
法平面方程为
\[
(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0,
\]
即
\[
x+2 y+3 z=6 .
\]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}{以$x$为参变量或一般方程定义的曲线的切线与法平面}
  \pause
现在我们再来讨论空间曲线 $\Gamma$ 的方程以另外两种形式给出的情形。

\pause
如果空间曲线 $\Gamma$ 的方程以
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    y=\varphi(x) \\
  z=\psi(x)
\end{array}\right.
\]
的形式给出， 取 $x$ 为参数， 它就可以表示为参数方程的形式
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    x=x \\
  y=\varphi(x) \\
z=\psi(x)
\end{array}\right.
\]
\pause
若 $\varphi(x), \psi(x)$ 都在 $x=x_{0}$ 处可导， 则根据上面的讨论可知， $\symbf{T}=\left(1, \varphi^{\prime}\left(x_{0}\right), \psi^{\prime}\left(x_{0}\right)\right)$, 因此曲线 $\Gamma$ 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切线方程为
\[\tag{6-10}
\frac{x-x_{0}}{1}=\frac{y-y_{0}}{\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{\psi^{\prime}\left(x_{0}\right)}
\]
在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法平面方程为
\[\tag{6-11}
\left(x-x_{0}\right)+\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+\psi^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 .
\]
\end{frame}

\begin{frame}
设空间曲线 $\Gamma$ 的方程以
\[\tag{6-12}
  \left\{\begin{array}{l}
    F(x, y, z)=0 \\
  G(x, y, z)=0
\end{array}\right.
\]
的形式给出， $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是曲线 $\Gamma$ 上的一个点。 
\pause
又设 $F, G$ 有对各个变量的连续偏导数，且
\[
  \left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \neq 0
\]
\pause
这时方程组 (6-12) 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某一邻域内确定了一组函数 $y=\varphi(x)$, $z=\psi(x)$. 
\pause
要求曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的切线方程和法平面方程， 只要求出 $\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right), \psi^{\prime}\left(x_{0}\right)$, 然后代人 (6-10)、(6-11)两式就行了。 
\pause
为此， 我们在恒等式
\[
F[x, \varphi(x), \psi(x)] \equiv 0, \quad G[x, \varphi(x), \psi(x)] \equiv 0
\]
\pause
两端分别对 $x$ 求全导数， 得
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\partial F}{\partial z} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0 \\
  \frac{\partial G}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\partial G}{\partial z} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0
\end{array}\right.
\]
\pause
由假设可知，在点 $M$ 的某个邻域内
\[
  J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)} \neq 0.
\]
\end{frame}

\begin{frame}

故可解得
\[
  \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\varphi^{\prime}(x)=\frac{\left|\begin{array}{cc}
    F_{z} & F_{x} \\
  G_{z} & G_{x}
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
  F_{y} & F_{z} \\
G_{y} & G_{z}
\end{array}\right|}, \quad \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=\psi^{\prime}(x)=\frac{\left|\begin{array}{cc}
  F_{x} & F_{y} \\
G_{x} & G_{y}
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}
  F_{y} & F_{z} \\
G_{y} & G_{z}
\end{array}\right|} .
\]
\pause
于是 $\symbf{T}=\left(1, \varphi^{\prime}\left(x_{0}\right), \psi^{\prime}\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的一个切向量， 这里
\[
  \varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{\left|\begin{array}{cc}
    F_{z} & F_{x} \\
  G_{z} & G_{x}
\end{array}\right|_{M}}{\left|\begin{array}{ll}
  F_{y} & F_{z} \\
G_{y} & G_{z}
\end{array}\right|_{M}}, \quad \psi^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{\left|\begin{array}{cc}
  F_{x} & F_{y} \\
G_{x} & G_{y}
\end{array}\right|_{M}}{\left|\begin{array}{cc}
  F_{y} & F_{z} \\
G_{y} & G_{z}
\end{array}\right|_{M}}
\]
分子、分母中带下标 $M$ 的行列式表示行列式在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的值。 
\pause
把上面的切向量 $\symbf{T}$乘 $\left|\begin{array}{cc}F_{y} & F_{z} \\ G_{y} & G_{z}\end{array}\right|_{M}$, 得
\[\color{red}
  \symbf{T}_{1}=\left(\left|\begin{array}{cc}
    F_{y} & F_{z} \\
  G_{y} & G_{z}
\end{array}\right|_{M},\left|\begin{array}{cc}
F_{z} & F_{x} \\
G_{z} & G_{x}
\end{array}\right|_{M},\left|\begin{array}{cc}
F_{x} & F_{y} \\
G_{x} & G_{y}
\end{array}\right|_{M}\right)
\]
这也是曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的一个切向量。 
\end{frame}


\begin{frame}
%下图有助于此切向量的记忆：
%\begin{figure}
%  \centering
%  \begin{tikzpicture}[scale=.5]
%    \node (j) at (0,0) {$y$};
%    \node (k) at (2,0) {$z$};
%    \node (i) at (1, 1.732) {$x$};
%    \draw[->] (i) to[bend right] (j);
%    \draw[->] (j) to[bend right] (k);
%    \draw[->] (k) to[bend right] (i);
%  \end{tikzpicture}
%\end{figure}
%\pause
由此可写出曲线 $\Gamma$ 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切线方程为
\[\tag{6-13}
\color{red}
  \frac{x-x_{0}}{\left|\begin{array}{cc}
    F_{y} & F_{z} \\
  G_{y} & G_{z}
\end{array}\right|_{M}}=\frac{y-y_{0}}{\left|\begin{array}{cc}
  F_{z} & F_{x} \\
G_{z} & G_{x}
\end{array}\right|_{M}}=\frac{z-z_{0}}{\left|\begin{array}{cc}
  F_{x} & F_{y} \\
G_{x} & G_{y}
\end{array}\right|_{M}}
\]
\pause
曲线 $\Gamma$ 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法平面方程为
\[\tag{6-14}
\color{red}
  \left|\begin{array}{cc}
  F_{y} & F_{z} \\
G_{y} & G_{z}
\end{array}\right|_{M}\left(x-x_{0}\right)+\left|\begin{array}{cc}
F_{z} & F_{x} \\
G_{z} & G_{x}
\end{array}\right|_{M}\left(y-y_{0}\right)+\left|\begin{array}{cc}
F_{x} & F_{y} \\
G_{x} & G_{y}
\end{array}\right|_{M}\left(z-z_{0}\right)=0,
\]
\pause
利用行列式的展开公式，上式也可写为
\[\tag{6-14'}
  \begin{vmatrix}
    x-x_0 & y-y_0 & z-z_0\\
    F_x|_M & F_y|_M & F_z|_M\\
    G_x|_M & G_y|_M & G_z|_M
  \end{vmatrix}=0.
\]
\pause
如果 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M}=0$ 而 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\right|_{M},\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\right|_{M}$ 中至少有一个不等于零， 那么我们可得\emph{同样的}结果。
    \end{frame}

    \begin{frame}
    \begin{example}
    求曲线 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, x+y+z=0$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程。
  \end{example}
\pause
  \begin{solution}
    这里可直接利用公式(6-13) 及(6-14) 来解， 但下面我们依照推导公式的方法来做。

  将所给方程的两端对 $x$ 求导并移项， 得
  \[
    \left\{\begin{array}{l}
      y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-x \\
    \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-1
\end{array}\right.
\]
由此得
\[
  \begin{aligned}
    & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}= \frac{\left|\begin{array}{ll}
      -x & z \\
    -1 & 1
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
  y & z \\
1 & 1
\end{array}\right|}=\frac{z-x}{y-z}, \quad \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=\frac{\left|\begin{array}{cc}
  y & -x \\
1 & -1
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
  y & z \\
1 & 1
\end{array}\right|}=\frac{x-y}{y-z} . \\
&\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{(1,-2,1)}=0,\left.\quad \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{(1,-2,1)}=-1 .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
   \end{frame}

    \begin{frame}

      \begin{solution}[续]
从而
\[
T=(1,0,-1) .
\]
故所求切线方程为
\[
\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}
\]
法平面方程为
\[
(x-1)+0 \cdot(y+2)-(z-1)=0,
\]
即
\[
x-z=0
\]
\end{solution}
   \end{frame}


  \section{曲面的切平面与法线}

  \begin{frame}{隐式定义的曲面的切平面与法线}
  我们先讨论由隐式给出曲面方程
  \[\tag{6-15}
  F(x, y, z)=0
\]
的情形， 然后把由显式给出的曲面方程 $z=f(x, y)$ 作为它的特殊情形。

~

\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-45}
\caption*{图 9-8}
\end{wrapfigure}


设曲面 $\Sigma$ 由方程 (6-15) 给出， $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是曲面 $\Sigma$ 上的一点， 并设函数 $F(x, y, z)$ 的偏导数在该点连续且不同时为零。 在曲面 $\Sigma$ 上， 通过点 $M$ 任意引一条曲线 $\Gamma$ (图 9-8), 假定曲线 $\Gamma$ 的参数方程为
\[\tag{6-16}
x=\varphi(t), y=\psi(t), z=\omega(t) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta),
\]
$t=t_{0}$ 对应于点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 且 $\varphi^{\prime}\left(t_{0}\right), \psi^{\prime}\left(t_{0}\right), \omega^{\prime}\left(t_{0}\right)$ 不全为零， 则由 (6-8) 式可得这曲线的切线方程为
\[
\frac{x-x_{0}}{\varphi^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{\psi^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{\omega^{\prime}\left(t_{0}\right)} .
\]

\end{frame}

\begin{frame}
 我们现在要证明，在曲面 $\Sigma$ 上通过点 $M$ 且在点 $M$ 处具有切线的任何曲线， 它们在点 $M$ 处的切线都在同一个平面上。
 事实上， 因为曲线 $\Gamma$ 完全在曲面 $\Sigma$ 上， 所以有恒等式
  \[
    F[\varphi(t), \psi(t), \omega(t)] \equiv 0.
\]
又因为 $F(x, y, z)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处有连续偏导数， 且 $\varphi^{\prime}\left(t_{0}\right), \psi^{\prime}\left(t_{0}\right)$ 和 $\omega^{\prime}\left(t_{0}\right)$ 存在， 所以这恒等式左端的复合函数在 $t=t_{0}$ 时有全导数， 且这全导数等于零：
\[
  \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} F[\varphi(t), \psi(t), \omega(t)]\right|_{t=t_{0}}=0
\]
即有
\[\tag{6-17}
F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \varphi^{\prime}\left(t_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \psi^{\prime}\left(t_{0}\right)+F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \omega^{\prime}\left(t_{0}\right)=0
\]

\pause
引人向量
\[
\symbf{n}=\left(F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right),
\]
则 (6-17) 式表示曲线 (6-16) 在点 $M$ 处的切向量
\[
\symbf{T}=\left(\varphi^{\prime}\left(t_{0}\right), \psi^{\prime}\left(t_{0}\right), \omega^{\prime}\left(t_{0}\right)\right)
\]
与向量 $\symbf{n}$ 垂直。 
\end{frame}


\begin{frame}
因为曲线 (6-16) 是曲面上通过点 $M$ 的任意一条曲线， 它们在点 $M$ 的切线都与同一个向量 $n$ 垂直， 所以曲面上通过点 $M$ 的一切曲线在点 $M$ 的切线都在同一个平面上 (图 9-8). 这个平面称为曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 的\emph{切平面}。 
\pause
这\emph{切平面的方程}是
\[\tag{6-18}\color{red}
F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 .
\]

\pause
通过点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 且垂直于切平面 (6-18) 的直线称为曲面在该点的\emph{法线}。 \emph{法线方程}是
\[\tag{6-19}\color{red}
\frac{x-x_{0}}{F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} .
\]

\pause
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的\emph{法向量}。 向量
\[\color{red}
\symbf{n}=\left(F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)
\]
就是曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 处的一个法向量。
\end{frame}


\begin{frame}{$z=f(x,y)$定义的曲面的切平面与法线}
  \pause
现在来考虑曲面方程
\[\tag{6-20}
z=f(x, y) .
\]
\pause
令
\[
F(x, y, z)=f(x, y)-z
\]
可见
\[
F_{x}(x, y, z)=f_{x}(x, y), \quad F_{y}(x, y, z)=f_{y}(x, y), \quad F_{z}(x, y, z)=-1
\]
\pause
于是， 当函数 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续时， 曲面 (6-20) 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量为
\[
  \symbf{n}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right),-1\right),
\]
\pause
切平面方程为
\[\tag{6-21}
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)-\left(z-z_{0}\right)=0,
\]
或
\[\tag{6-22}
z-z_{0}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right),
\]
\pause
而法线方程为
\[
\frac{x-x_{0}}{f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{-1} .
\]

\end{frame}


\begin{frame}


这里顺便指出， 方程 (6-21) 右端恰好是函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的全微分， 而左端是切平面上点的坚坐标的增量。 因此， 函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的全微分， 在几何上表示曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面上点的坚坐标的增量。

~

\pause
如果用 $\alpha, \beta$ 和 $\gamma$ 表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 $z$ 轴的正向所夹的角 $\gamma$ 是一锐角，那么法向量的方向余弦为
\[
\cos \alpha=\frac{-f_{x}}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}, \quad \cos \beta=\frac{-f_{y}}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}, \quad \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}} .
\]
这里，把 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 分别简记为 $f_{x}$ 和 $f_{y}$.
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  求球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处的切平面及法线方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \[
      \begin{aligned}
          & F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-14, \\
            & \symbf{n}=\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)=(2 x, 2 y, 2 z),\left.\quad \symbf{n}\right|_{(1,2,3)}=(2,4,6) .
              \end{aligned}
          \]
        所以在点 $(1,2,3)$ 处此球面的切平面方程为
        \[
        2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0,
    \]
  即
  \[
  x+2 y+3 z-14=0 .
\]

法线方程为
\[
\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3},
\]
即
\[
\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3} .
\]
由此可见， 法线经过原点 (即球心)。
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  求旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \[
      \begin{aligned}
          & f(x, y)=x^{2}+y^{2}-1, \\
            & \symbf{n}=\left(f_{x}, f_{y},-1\right)=(2 x, 2 y,-1),\left.\quad \symbf{n}\right|_{(2,1,4)}=(4,2,-1) .
              \end{aligned}
          \]
        所以在点 $(2,1,4)$ 处的切平面方程为
        \[
        4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0,
    \]
  即
  \[
  4 x+2 y-z-6=0 .
\]
法线方程为
\[
\frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-4}{-1}
\]
\end{solution}\end{frame}
\end{document}
